Question

如图，在三棱柱中，平面平面， ， ， ， ， 为的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析;（2）．

【解析】试题分析：证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角可采用建立空间直角坐标系，借助法向量求解，本题需要设，根据条件求出，再利用法向量求出二面角的余弦.

试题解析：（1）证明：∵， 为的中点，∴，又平面平面，平面平面， 平面，∴平面，又平面，∴．又， ，∴面．

（2）方法一：由平面平面，作于，则面．

作于，连，则，由， ，

知 ，而， ，故，即．

在四边形中，设．

则由余弦定理得．

，设与交于点，则

， ，而 ，则．

于是，即，∴或（舍）

容易求得： ，而．

故，由面面，则面，过作于，连，则为二面角的平面角，由平面几何知识易得， ．

∴．

方法二：以点为原点， 为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，则， ， ， ．

∴， ．由，得，∴，则， ，于是， ，

∵，

∴，即，解得或（舍），故，则， ，于是， ，设平面的法向量为，则即，取，则，∴．

不妨设平面的法向量，则，

故二面角的余弦值为．

【点睛】证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角的方法有两种，传统方法为“作、证、求”，用空间向量，借助法向量更容易一些.