Question

已知函数．

（1）若，其中为自然对数的底数，求函数的单调区间；

（2）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围．

Answer

（1）见解析;（2）且且．

【解析】试题分析：把值带入后对求导，分子提取公因式是重要的一步，由于的正负不清楚，所以设为二次求导，发现的单调性及零点，最后根据的符号说明单调性；对求导，研究因式，得，这是非常智慧的一步变形．针对函数求导研究单调性求出极值，模拟图象得出解答.

试题解析：（1），

由知，

设，

则， ，

∴，∴在上单调递增，观察知，

∴当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增．

（2）， ，

由，得．

设，则，由，得．

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增．

∴．

又时， 时，

∴，这是必要条件．

检验：当时， 既无极大值，也无极小值；当时，满足题意；当时， 只有一个极值点，舍去；当时，则，则．

综上，符合题意的的范围为且且．

【点睛】对函数求导，研究导数的符号，确定函数的单调性是导数应用常规方法，

的正负不清楚，所以设为二次求导，发现的单调性及零点，最后根据的符号说明单调性；二次求导或三次求导解题时经常采用，研究因式，得，这是非常智慧的一步变形．针对函数求导研究单调性求出极值，模拟图象研究零点个数也是常规方法.