Question

如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形， 是的中点，过三点的平面交于， 为的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面；

（3）平面平面.

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：(1)先证明四边形是平行四边形，得 平面 ，进而可得结论；(2)先由面面垂直的性质可得，再证 ，由 可得 ，可得 平面 ；（3）由（2）可得 ，由等腰三角形性质得，进而由面面垂直的判定定理得结论.

试题解析：（1） 平面

平面

平面平面平面，

又因

，

是的中点， 是的中点，底面是边长为2的菱形，

四边形是平行四边形，

平面

平面；

（2）侧面是正三角形，且与底面垂直， 为的中点，

由余弦定理可得，由正弦定理可得：

由可得

平面；

由（2）知平面， 平面

是的中点，

平面.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.