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如图,在四棱锥中,侧面是正三角形,且与底面垂直,底面是边长为2的菱形, 是的中点...

如图,在四棱锥中,侧面是正三角形,且与底面垂直,底面是边长为2的菱形, 的中点,过三点的平面交 的中点,求证:

(1)平面

(2)平面

(3)平面平面.

 

(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【解析】试题分析:(1)先证明四边形是平行四边形,得 平面 ,进而可得结论;(2)先由面面垂直的性质可得,再证 ,由 可得 ,可得 平面 ;(3)由(2)可得 ,由等腰三角形性质得,进而由面面垂直的判定定理得结论. 试题解析:(1) 平面 平面 平面平面平面, 又因 , 是的中点, 是的中点,底面是边长为2的菱形, 四边形是平行四边形, 平面 平面; (2)侧面是正三角形,且与底面垂直, 为的中点, 由余弦定理可得,由正弦定理可得: 由可得 平面; 由(2)知平面, 平面 是的中点, 平面. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.  
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考点分析:
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过点有一条直线,它夹在两条直线之间的线段恰被点平分,求直线的方程.

 

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如图,在三棱柱中, 底面,且为等边三角形, 的中点.

求证:直线平面

求证:平面平面

(3)求三棱锥的体积.

 

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如图,平面为圆锥的轴截面, 为底面圆的圆心, 为母线的中点, 为底面圆周上的一点,

求该圆锥的侧面积;

若直线所成的角为,求的长.

 

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在三棱柱中,侧棱与底面垂直, ,点分别为的中点.

(1)证明: 平面

证明: 平面.

 

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将边长为2,锐角为的菱形沿较短对角线折成四面体,点分另的中点,则下列命题中正确的是__________.(将正确的命题序号全填上)

        ②是异面直线的公垂线;

平面        ④垂直于截面

 

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