Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.

（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：

(1) 取PA的中点N，由题意证得BN∥CQ，则CQ∥平面PAB.

(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．

试题解析：

（Ⅰ）证明 如图所示，取PA的中点N，连接QN，

BN.在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，

所以QN∥AD，且QN＝AD.

在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，

所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.

又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，

故四边形BCQN为平行四边形，所以BN∥CQ.

又BN⊂平面PAB，且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

（Ⅱ）如图，取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO.

由(1)知PA＝AM＝PM＝2,

所以△APM为等边三角形，

所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.

因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.

如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，

则＝(，3,0).

因为Q为DP的中点，故Q，所以＝.

设平面AQC的法向量为m＝(x，y，z)，

则可得

令y＝－，则x＝3，z＝5. 故平面AQC的一个法向量为m＝(3，－，5).

设直线PD与平面AQC所成角为θ.

则sinθ= |cos〈，m〉|＝＝.

从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.