Question

已知分别是椭圆的左，右焦点， 分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率 .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：

(1)由题意列方程可得， 故所求椭圆方程为

(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得 ，

当且仅当时上式取等号. 的最小值为。

试题解析：

（Ⅰ）依题意得 ，

解得，

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）由（1）知，设， 的方程为，代入椭圆的方程，

整理得，

，

， ， ，

，

当且仅当时上式取等号. 的最小值为。

点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．