Question

已知函数，，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）判断函数在内零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ），，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求证：.

Answer

（1）1（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数 ，判断导数的正负，得到函数的单调性，再根据零点存在性定理得到零点的个数；（Ⅱ）不等式等价于，根据导数分别求两个函数的最小值和最大值，建立不等式求的取值范围；（Ⅲ）利用分析法逐步找到使命题成立的充分条件，即，证明，求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）函数在上的零点的个数为1，，

理由如下：因为，所以.

因为，所以.

所以函数在上是单调递增函数.

因为，，

根据函数零点存在性定理得

函数在上的零点的个数为1.

（Ⅱ）因为不等式等价于，

所以，，使得不等式成立，等价于，

当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值-1，

又，由于，，，

所以，故在区间上单调递增.

因此，时，取得最大值.

所以，所以，

所以实数的取值范围是.

（Ⅲ）当时，要证，只要证，

只要证，

只要证，

由于，只要证.

下面证明时，不等式成立.

令，则，

当时，，是单调递减；

当时，，是单调递增.

所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.

令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为：，

由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，

当直线与圆相切且切点在第二象限时，

当直线取得斜率的最大值为1.

故时，；时，.

综上所述，当时，成立.

【点睛】本题考查了零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性和极值以及最值的综合性问题，本题中的第二问是任意存在的问题， ，使，或是 ，而第三问，则考查的类型是的类型，可转换为，或是 . 这一问构造函数解题较难，近几年高考在导数命题上难度较大，命题方向也较多，常常要构造函数，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.