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已知函数,,其中是自然对数的底数. (Ⅰ)判断函数在内零点的个数,并说明理由; ...

已知函数,其中是自然对数的底数.

(Ⅰ)判断函数内零点的个数,并说明理由;

(Ⅱ),使得不等式成立,试求实数的取值范围;

(Ⅲ)若,求证:.

 

(1)1(2)(3)见解析 【解析】试题分析:(Ⅰ)首先求函数的导数 ,判断导数的正负,得到函数的单调性,再根据零点存在性定理得到零点的个数;(Ⅱ)不等式等价于,根据导数分别求两个函数的最小值和最大值,建立不等式求的取值范围;(Ⅲ)利用分析法逐步找到使命题成立的充分条件,即,证明,求的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)函数在上的零点的个数为1,, 理由如下:因为,所以. 因为,所以. 所以函数在上是单调递增函数. 因为,, 根据函数零点存在性定理得 函数在上的零点的个数为1. (Ⅱ)因为不等式等价于, 所以,,使得不等式成立,等价于, 当时,,故在区间上单调递增,所以时,取得最小值-1, 又,由于,,, 所以,故在区间上单调递增. 因此,时,取得最大值. 所以,所以, 所以实数的取值范围是. (Ⅲ)当时,要证,只要证, 只要证, 只要证, 由于,只要证. 下面证明时,不等式成立. 令,则, 当时,,是单调递减; 当时,,是单调递增. 所以当且仅当时,取得极小值也就是最小值为1. 令,其可看作点与点连线的斜率, 所以直线的方程为:, 由于点在圆上,所以直线与圆相交或相切, 当直线与圆相切且切点在第二象限时, 当直线取得斜率的最大值为1. 故时,;时,. 综上所述,当时,成立. 【点睛】本题考查了零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性和极值以及最值的综合性问题,本题中的第二问是任意存在的问题, ,使,或是 ,而第三问,则考查的类型是的类型,可转换为,或是 . 这一问构造函数解题较难,近几年高考在导数命题上难度较大,命题方向也较多,常常要构造函数,思维巧妙,有选拔优秀学生的功能.  
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考点分析:
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已知分别是椭圆的左,右焦点, 分别是椭圆的上顶点和右顶点,且,离心率 .

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设经过的直线与椭圆相交于两点,求的最小值.

 

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如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,ADBCPAABBCCD=2,PD=2PAPDQPD的中点.

(Ⅰ)证明:CQ∥平面PAB

(Ⅱ)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.

 

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电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(1)根据已知条件完成上面的列联表,若按的可靠性要求,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关?

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求分布列,期望和方差.

附:

 

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中,角所对的边分别为 .

(1)求角

(2)若的中线的长为,求的面积的最大值.

 

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已知函数,点O为坐标原点,点,向量,θn是向量的夹角,则使得  恒成立的实数t的取值范围为 ___________

 

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