Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求证：M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

Answer

（I）详见解析

（II）二面角为锐角的大小为.；

（III）直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】【解析】
（I）设交点为，连接.

因为平面，平面平面，所以.

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接，.

因为，所以.

又因为平面平面，且平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为是正方形，所以.

如图建立空间直角坐标系，则，，，

，.

设平面的法向量为，则，即.

令，则，.于是.

平面的法向量为，所以.

由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知，，.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.