Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，已知为线段的中点.

（I）求证： 平面；

（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦角.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（I）连接 和 交于 ，连接 ，利用中位线定理得出 ，故而 平面 ；(II)求出 ，以 为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的余弦值.

试题解析：（I）连接和交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点.

因为为的中点，所以.

因为平面平面，

所以平面.

(II)因为平面平面，

所以.

因为为正方形，所以.

因为平面，

所以平面.

因为平面，所以.

所以以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

因为平面平面,

所以.

因为，所以.

因为四边形为正方形，

所以，

所以.

由四边形为正方形，

得,

所以.

设平面的一个法向量为，又知，

由

令，得，

所以.

设平面的一个法向量为，又知,

由

令，得，

所以.

设平面与平面所成的锐二面角为，

又，

则.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角的大小，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.