Question

给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.

①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；

②求证：线段的长为定值.

Answer

（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）详见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题目条件可求出的值，进而可得出椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）①根据条件先求出点的坐标并设出直线的方程，再联立椭圆的方程，并结合，即可求得方程并进而证明；②根据前面的结论，并注意对直线的斜率进行讨论，证明线段总是准圆的直径，从而证得线段的长为定值.

试题解析：（1），

椭圆方程为，

准圆方程为．

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得.

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，

所以方程为．

， ．

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则： ，

当： 时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当： 时，直线垂直

②当斜率存在时，设点，其中.

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得.

由化简整理得，

因为，所以有.

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直．

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.

所以线段为准圆的直径， ，

所以线段的长为定值．

考点：1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.