Question

已知函数.

(I）若函数在处的切线方程为，求和的值;

(II)讨论方程的解的个数，并说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：(I）求出 ，结合已知得到 ，据此可求出 的值；(II) 和 ，讨论求解，即可得到方程 的解的个数，注意利用导数判断函数的单调性.

试题解析：（I）因为，

又在处的切线方程为，

所以，

解得.

（II）当时， 在定义域内恒大于，此时方程无解.

当时， 在区间内恒成立，

所以的定义域内为增函数.

因为，

所以方程有唯一解.

当时， .

当时， ，

在区间内为减函数，

当时， ，

在区间内为增函数，

所以当时，

取得最小值.

当时， ，无方程解；

当时， ，方程有唯一解.

当时， ，

因为，且，

所以方程在区间内有唯一解，

当时，

设，

所以在区间内为增函数，

又，所以，即，

故.

因为，

所以.

所以方程在区间内有唯一解，

所以方程在区间内有两解，

综上所述，当时，方程无解，

当，或时，方程有唯一解，

当时，方程有两个解.