Question

已知， ， ．

（1）讨论函数的单调性；

（2）记，设， 为函数图象上的两点，且．

（ⅰ）当， 时，若在处的切线相互垂直，求证： ；

（ⅱ）若在点处的切线重合，求的取值范围．

Answer

（1）时， 在上单调递减，即时， 在和上都是单调递减的，在上是单调递增的；（2）（i）见解析；（ii）．

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，判断函数的单调性即可；（2）（i）求出 的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；（ii）求出 的坐标，分别求出曲线在的切线方程，结合函数的单调性确定 的范围即可.

试题解析：（1），则，

当即时， ， 在上单调递减，

当时即时， ，

此时在和上都是单调递减的，在上是单调递增的；

（2）（i），据题意有，又，

则且， ，

法1： ，

当且仅当即， 时取等号．

法2： ， ，

当且仅当时取等号．

（ii）要在点处的切线重合，首先需要在点处的切线的斜率相等，

而时， ，则必有，即， ，

处的切线方程是：

处的切线方程是： ，即，

据题意则， ，

设， ， ，

在上， ， 在上单调递增，

则，又在恒成立，

即当时， 的值域是，

故，即为所求．