Question

设函数f(x)=(1-x²)e^x.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x0时，f(x)ax+1，求a的取值范围.

Answer

（1）单调递增

(2)[1，+∞）

【解析】

（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex

令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+

当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1-，+∞）时，f’(x)<0

所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增

(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex

当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，

故h(x)≤1，所以

f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当

综上，a的取值范围[1，+∞）