Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F₁作直线PF₁的垂线l₁,过点F₂作直线PF₂的垂线l₂.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l₁，l₂的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

Answer

（1）∵椭圆E的离心率为，∴①.∵两准线之间的距离为8，∴②.联立①②得，∴，故椭圆E的标准方程为.

（2）设，则，由题意得，整理得，∵点在椭圆E上，∴，∴，∴，故点P的坐标是.

【解析】

解：（1）设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，

解得，于是，

因此椭圆E的标准方程是.

（2）由（1）知，，.

设，因为点为第一象限的点，故.

当时，与相交于，与题设不符.

当时，直线的斜率为，直线的斜率为.

因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，

从而直线的方程：， ①

直线的方程：. ②

由①②，解得，所以.

因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.

又在椭圆E上，故.

由，解得；，无解.

因此点P的坐标为.