Question

对于给定的正整数k,若数列la_nl 满足

=2ka_n对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列la_nl 是“P(k)数列”.学科@网

(1)证明：等差数列la_nl是“P(3)数列”；

若数列la_nl既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：la_nl是等差数列.

Answer

当{an}为等差数列时，∵，

∴，

∴，

∴.

（2）（，），

（，），

∴，∴，

∴数列{an}是等差数列.

【解析】

证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”.

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时，，①

当时，.②

由①知，，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为.

在①中，取，则，所以，

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列.