Question

已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

证明：b²>3a;

若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。

Answer

（1）因为，所以，所以，

所以，所以，

因为，所以.

（2），

因为，

所以，所以b²>3a.

（3）由（1），

，

，∴，∴，，.

【解析】

解：（1）由，得.

当时，有极小值.

因为的极值点是的零点.

所以，又，故.

因为有极值，故有实根，从而，即.

时，，故在R上是增函数，没有极值；

时，有两个相异的实根，.

列表如下

x

+

0

–

0

+

极大值

极小值

故的极值点是.

从而，

因此，定义域为.

（2）由（1）知，.

设，则.

当时，，从而在上单调递增.

因为，所以，故，即.

因此.

（3）由（1）知，的极值点是，且，.

从而

记，所有极值之和为，

因为的极值为，所以，.

因为，于是在上单调递减.

因为，于是，故.

因此a的取值范围为.