Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA₁= ，∠BAD=120º.

（1)求异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A₁D-A的正弦值。

 

Answer

以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（0,0,0），B（2,0,0），D（0,2,0），A1（0,0，），C1（2,2，）.

（1），

即A1B与AC1所成角的余弦值为.

（2）设平面BA1D的一个法向量为，又，

则，取，则，即.

又平面AA1D的一个法向量为，

所以，所以.

【解析】

【解析】
在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.

因为AA1平面ABCD，

所以AA1AE，AA1AD.

如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.

因为AB=AD=2，AA1=，.

则.

(1) ，

则.

因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.

(2)平面A1DA的一个法向量为.

设为平面BA1D的一个法向量，

又，

则即

不妨取x=3，则，

所以为平面BA1D的一个法向量，

从而,

设二面角B-A1D-A的大小为，则.

因为，所以.

因此二面角B-A1D-A的正弦值为.