Question

如图，在正四面体ABCD中， 是的中心， 分别是上的动点，且．

（1）若平面，求实数的值；

（2）若，正四面体ABCD的棱长为，求平面和平面所成的角余弦值．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）本问主要考查线面平行性质定理的应用，若平面，那么经过OE的平面与平面ACD相交，则OE平行于交线，因此需要找到经过OE的平面，由是正的中心，易知O为BC的三等分点，因此能确定E点位置；（2）本问主要考查用空间向量求二面角问题，当时，点分别是的中点，以O为原点，过O作CD的垂线为x轴，过O作BC的垂线为y轴，OA为z轴，建立空间直角直角坐标系，则易得出下列各点坐标, ,由此求出相关向量的坐标,再分别求出平面和平面的法向量，根据两个平面的法向量可以求夹角的余弦，再由图观察向量成角的余弦与二面角余弦之间的关系即可.

试题解析：（1）取的中点，连接,

∵是正的中心 ∴点在上，且，

∵当时，平面 ,

∴∴,即,

∴.

（2）当时，点分别是的中点.

建立如图所示的空间直角坐标系，依题设

，则, ,

则,

设平面的法向量为则,

∴,

不妨令，则，

又平面的一个法向量为.

设所求二面角为，则.

考点：1.空间中的平行关系；2.空间向量求平面与平面成角.

方法点睛：运用空间向量解决立体几何的步骤：（1）建系，根据题中的几何图形特征，建立适当的空间直角坐标系；（2）定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；（3）向量运算，进行相关的空间向量的运算；（4）翻译，将空间向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解.建系时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上.