Question

已知椭圆右顶点，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．

Answer

（1）（2）2

【解析】试题分析：（1）本问主要考查求椭圆的标准方程，可以根据待定系数法求方程，右顶点，即，又离心率，则可以求出，根据，求出后即得到椭圆方程；（2）本问主要考查直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，设，根据，求出，根据，求出，问与面积之差等于，用坐标表示后整理、化简后可以判断是否为定值.

试题解析：⑴依题意得解得 ，则椭圆的方程为.

⑵设，则，

，令得，则,

，令得，则,

∴

.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.

方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.