Question

如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点（不与重合），若，求直线的方程．

Answer

（1）（2）或．

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组进行求解；（2）先依据题设求得，再借助直线与椭圆的位置关系分析探求：

（Ⅰ）当时， 轴，得到点，

所以 ，所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）因为， 所以．

设，则，有

①当斜率不存在， 的方程为，

或，(不合条件,舍去)

②当斜率存在，由（Ⅰ）可知，设方程为，

联立方程得： ．

由韦达定理可得，将代入可得，

即．所以．

所以直线的方程为或．