Question

已知函数（其中， 为常数， 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设曲线在处的切线为，当时，求直线在轴上截距的取值范围．

Answer

（1）递增区间是，递减区间是；（2）

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）先依据导数的几何意义建立切线的方程，再由解截距的定义探求其范围：

（Ⅰ），

当时， 恒成立，函数的递增区间是；

当时， 或，

函数的递增区间是，递减区间是；

（Ⅱ）， ，

所以直线的方程为： ，

令得到：截距，记，

，记

,所以递减

， ，即在区间上单调递减，

，即截距的取值范围是： ．

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先依据题设条件运用求导法则对函数解析式进行分析求解，再依据导致的值与单调性之间的关系分析求解；解答第二问时先依据导数的几何意义建立切线的方程，再借助截距的定义求出截距关于参数的函数，最后运用导数知识求得其值域即为所求截距的取值范围。