Question

已知数列满足．

（Ⅰ）若数列是常数列，求的值；

（Ⅱ）当时，求证： ；

（Ⅲ）求最大的正数，使得对一切整数恒成立，并证明你的结论．

Answer

(1) ;(2)见解析;(3)1.

【解析】试题分析：(1) .

(2)由条件得,得，

又显然有，所以与同号,而,所以即 .

(3)先由猜测. 然后用数学归纳法证明即可.

试题解析：(1)若数列是常数列,则, ；显然,当时，有

(2)由条件得,得，

又因为,

两式相减得显然有，所以与同号,而,所以；

从而有

(3)因为，

所以.这说明，当时， 越来越大，不满足，所以要使得对一切整数n恒成立,只可能. 下面证明当时, 恒成立；用数学归纳法证明:

当时, 显然成立;假设当时成立，即,则当时, 成立，

由上可知对一切正整数恒成立.因此,正数的最大值是1.