Question

某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①；②；③

（1）已知， ， ，请从①②③这三个式子中任选一个，结合所给范围，验证其正确性.（注意不能近似计算）.

（2）请将此规律推广至一般情形，并证明.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）结合此范围，验证其正确性，
（2）一般结论为：若n∈N*，则，，用分析法和综合法即可证明．

试题解析：

（1）验证①式成立：

（2）一般结论为：若，则，证明如下：

证法一：要证：

只需证：

即证：

也就是证：

只需证： 即证： ，显然成立

故

证法二：

，