Question

（1）若恒成立，求常数的取值范围.

（2）已知非零常数满足，求不等式的解集；

Answer

（1），或；（2），当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.

【解析】试题分析：（1）问题转化为(−1)( −2x+1)⩾0，通过讨论的范围求出不等式的解集，从而求出的范围即可．

（2）根据条件可得，进而，或，分别讨论求解即可.

试题解析：

（1）由已知得,|x− |⩾x−1⩾0,(x− )2⩾(x−1)2

∴(−1)( −2x+1)⩾0，

=1时,( −1)( −2x+1)⩾0恒成立

>1时,由(−1)( −2x+1)⩾0得, ⩾2x−1,从而 ⩾3

<1时,由(−1)( −2x+1)⩾0得, ⩽2x−1,从而 ⩽1

综上所述,a的取值范围为(−∞,1]∪[3,+∞)…(10分)

（2），∴，

∴，或，

当时， ， ，

当时， ，

∴，或，∴或，

综上，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为

点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法

分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.