Question

一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，若这个几何体的外接球的表面积等于，则该几何体的体积为（    ）

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】

由已知中知几何体的正视图，侧视图和俯视图均为三角形，

可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为2，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图。

外接球的表面积等于，解得.

则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，|PD|=4,所以.

在直角△AOD中， .又，解得.

该几何体的体积为.故选D.

点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.