Question

已知等边三角形的边长为4，四边形为正方形，平面平面， ， ， ， 分别是线段， ， ， 上的点.

（Ⅰ）如图①，若为线段的中点， ，证明： 平面；

（Ⅱ）如图②，若， 分别为线段， 的中点， ， ，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理及平行四边形性质可得

试题解析：

（Ⅰ）证明：取的中点，连接， ，则

易知为的中位线， ，

平面， 平面，

平面，易知四边形为平行四边形，

， 平面， 平面， 平面.

， ， 平面， 平面平面，

又平面， 平面.

（Ⅱ）连接，则，

平面平面，平面平面， 平面，

平面，分别以， ， 所在直线为

轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

， ， ， ， ，

则， ， ，

设平面的法向量为，则， ， ，

取，得，故，

设平面的法向量为，则， ，

，取，得，故，

.

易知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.