Question

某学校设有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学与英语成绩（单位：分），用表示，下面是乙班6名学生的测试分数： ， ， ， ， ， ，当学生的数学、英语成绩满足，且时，该学生定为优秀生.

（Ⅰ）已知甲班共有80名学生，用上述样本数估计乙班优秀生的数量；

（Ⅱ）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名为优秀生的概率；

（Ⅲ）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为，求的分布列及其数学期望.

Answer

（Ⅰ）乙班优秀生的数量大约为40；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样的原理，利用比例求解即可；

（Ⅱ）至少有两名为优秀生包含两种情况：有2名优秀生，1名非优秀生和3名都是优秀生；

（Ⅲ）从乙班抽出的6名学生中任取1名是优秀生的概率是.由题意可知的取值可以为0,1,2，且满足二项分布.

试题解析：

（Ⅰ）设乙班学生数为，

则由分成抽样可知，解得，

即乙班学生数为60，

由测试数据可知、、、四名学生为优秀生， ， ，

故乙班优秀生的数量大约为40.

（Ⅱ）至少有两名为优秀生包含两种情况：有2名优秀生，1名非优秀生和3名都是优秀生，

所以所求概率.

（Ⅲ）从乙班抽出的6名学生中任取1名是优秀生的概率是.由题意可知的取值可以为0,1,2，且满足二项分布，

所以， ， ，

所以的分布列为

故数学期望为.

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.