Question

已知函数，曲线在（是自然对数的底数）处的切线与圆在点处的切线平行.

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）易知圆在点处的切线方程为，知在处的导数为2，得， 求导得最值最小值为，即可证得；

（Ⅱ）不等式 在上恒成立，即 在上恒成立. 设 ， ，求最值即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明： ， ，

易知圆在点处的切线方程为，

由题意知， ，即，解得，

， ，令，得，

当时， ， 在上单调递减，

当时， ， 在上单调递增.

因此， 在处取得极小值，也为最小值，最小值为，

又，故.

（Ⅱ）不等式 在上恒成立，

即 在上恒成立.

设 ， ，

则 ，

①当时， 在上恒成立， 在上是减函数，又，

故当时，总有，符合题意；

②当时，令，解得或，

易知在上是减函数，在上是增函数，又，

故当时，总有，不符合题意；

③当时， 在上恒成立， 在上是减函数，又，故当时，总有，符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.