Question

已知双曲线，抛物线， 与有公共的焦点， 与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）

A. 仅有两个不同的离心率且    B. 仅有两个不同的离心率且    C. 仅有一个离心率且    D. 仅有一个离心率且

Answer

C

【解析】 的焦点为 ， 双曲线交点为，即 ，设 横坐标为 ，则 ， ，

可化为 ， ，

只有一个根在 内，故选C.

【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.