Question

如图，在菱形中， 与相交于点， 平面， ．

（I）求证： 平面；

（II）当直线与平面所成的角为时，求二面角的余弦角．

Answer

（I）见解析；（II）．

【解析】试题分析：（I）根据是菱形可得，根据线面垂直的性质可得，从而根据线面垂直的判定定理可得结论；（II）以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（I）平面 ；

（II）取的中点为，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量和

，设平面的法向量和

，设平面的法向量和二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质及利用空间向量求二面角的大小，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.