Question

已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.

Answer

（I）；（II）．

【解析】试题分析：（I）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（II）与，设，则根据韦达定理及过两点直线的斜率公式可得恒成立直线的斜率为定值．

试题解析：（I）椭圆；

（II）由直线平分和，而由直线

与，设，则

，由

恒成立直线的斜率为定值．

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.