Question

已知函数.

（I）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；

（II）若函数在区间内无零点，求实数的最小值.

Answer

（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求得，解得的值，从而求出函数的单调减区间；（2）根据题意，把函数为零点转化为恒成立，令， ，根据函数的单调性求出的最小值即可．

试题解析：（1）因为,所以, 所以．又,所以,得,由,得,所以函数的单调减区间为．

（2）因为当时， ,所以在区间内恒成立不可能．所以要使函数在区间内无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立，令,则．再令,则,所以在区间内为减函数，所以, 所以．于是在区间内为增函数，所以,所以要使恒成立，只要．综上，若函数在区间内无零点，则实数的最小值为．

考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用研究函数的单调性与最值．

【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究曲线上某点的切线方程、利用研究函数的单调性与最值，以及恒成立问题的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与构造思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数转化为利用新函数的单调性与最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．