Question

已知函数（， ）.

（1）如果曲线在点处的切线方程为，求， 的值；

（2）若， ，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围.

Answer

（1）（2）.

【解析】试题分析：（1）根据切线方程求法，先明确切点，可得等式可得a,b的值（2）关于的不等式的整数解有且只有一个，

等价于关于的不等式的整数解有且只要一个，所以构造函数，分析函数单调性在借助零点定理分析求解即可

试题解析：

（1）函数的定义域为，

.

因为曲线在点处的切线方程为，

所以得解得

（2）当时， （），

关于的不等式的整数解有且只有一个，

等价于关于的不等式的整数解有且只要一个.构造函数， ，所以.

①当时，因为， ，所以，又，所以，所以在内单调递增.

因为， ，所以在上存在唯一的整数使得，即.

②当时，为满足题意，函数在内不存在整数使，即在上不存在整数使.

因为，所以.

当时，函数，所以在内为单调递减函数，所以，即；

当时， ，不符合题意.

综上所述， 的取值范围为.