Question

设椭圆M:的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且 ．

（1）求椭圆M的方程；

（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；

（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）由，可知，

又点坐标为故，可得，

因为椭圆M过点，故，可得，

所以椭圆M的方程为．

（2）AP的方程为，即，

由于是椭圆M上的点，故可设，

所以

当，即时，取最大值．

故的最大值为．

法二：由图形可知，若取得最大值，则椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方．

设方程为，代入椭圆M方程可得，

由，可得，又，故．

所以的最大值．

（3）直线方程为，代入，可得

，，

又故，，

同理可得，，又且，可得且，

所以，，，

直线的方程为，

令，可得．

故直线过定点．

（法二）若垂直于轴，则，

此时与题设矛盾．

若不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，

可得，可得，

又，

可得，

故，

可得或，又不过点，即，故．

所以的方程为，故直线过定点．

【点睛】先根据题意列方程组求出写出椭圆的标准方程；最值问题首先表示三角形的面积，写出直线的方程，由于点是椭圆M上的点，所以巧设点的坐标，借助点到直线距离公式表示三角形的高，从而表示出三角形的面积，然后求最值；第三步为直线过定点问题，把A所在直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系找出 坐标，写出所在直线方程，证明其过定点.