Question

若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．

（1）试判断函数与是否是“L函数”；

（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；

（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有．

Answer

（1）是“L函数”. 不是“L函数”.（2）（3）见解析

【解析】（1）对于函数，当时，，

又，所以，

故是“L函数”.

对于函数，当时，，

故不是“L函数”.

（2）当时，由是“L函数”，

可知，即对一切正数恒成立，

又，可得对一切正数恒成立，所以．

由，可得，

故，又，故，

由对一切正数恒成立，可得，即．

综上可知，a的取值范围是．

（3）由函数为“L函数”， 可知对于任意正数，

都有，且，

令，可知，即，

故对于正整数k与正数，都有

，

对任意，可得，又，

所以，

同理，

故 ．

【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L函数”的定义，说明是“L函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“L函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.