Question

已知函数， .

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.

Answer

（I）当时,， 所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）

【解析】试题分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）题意说明在上恒成立，即不等式恒成立， ，因此问题转化为求的最大值．

试题解析：由已知函数的定义域均为,且.

（1）函数

当且时,;当时,.

所以函数的单调减区间是,增区间是.

（2）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时， ．

又 ，

故当，即时， ．

所以于是，故a的最小值为．

考点：导数与单调性，导数的综合应用．

【名题点睛】在导数的应用中，用导数求单调区间是常见问题，常用方法是角不等式得增区间，解不等式得减区间，但如果已知在区间上是增函数，则所用结论变为在时恒成立（同样，如果已知在区间上是减函数，则所用结论变为在时恒成立），主要是的孤立零点对单调性没有影响．在等价转化时要注意，否则易漏解.