Question

选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|2x＋1|+|2x－a|．

（I）若f（x）的最小值为2，求a的值；

（II）若f（x）≤|2x－4|的解集包含[－2，－1]，求a的取值范围．

Answer

（1） （2）

【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式可得函数f（x）的最小值为|a+1|，再解方程|a+1|=2，可得a的值；（2）即x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）≤|2x﹣4|恒成立，化简得|2x﹣a|≤5恒成立，即﹣5+2x≤a≤5+2x恒成立，可得a的取值范围．

试题解析：【解析】
（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|≥|2x+1﹣（2x﹣a）|=|a+1|，且f（x）的最小值为2，∴|a+1|=2，∴a=1 或a=﹣3．

（2）f（x）≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，即x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）≤|2x﹣4|恒成立，

即|2x+1|+|2x﹣a|≤|2x﹣4|恒成立，即﹣2x﹣1+|2x﹣a|≤4﹣2x恒成立，

即|2x﹣a|≤5恒成立，即﹣5+a≤2x≤5+a恒成立，即，

∴﹣7≤a≤1

点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.