Question

设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－a|＋a，x∈R.

(1)当a＝3时，求不等式f(x)>7的解集；

(2)对任意x∈R恒有f(x)≥3，求实数a的取值范围．

Answer

(1) {x|x<0或x>2};(2) [2，＋∞).

【解析】试题分析:(1)根据零点分段去掉绝对值写出函数的表达式,进而解出不等式;(2) 任意x∈R恒有f(x)≥3,即f(x)的最小值大于等于3,根据绝对值不等式求出最小值,解出a的范围.

试题解析:(1)当a＝3时，f(x)＝

所以f(x)>7的解集为{x|x<0或x>2}．

(2)f(x)＝|2x－1|＋|a－2x|＋a≥|2x－1＋a－2x|＋a＝|a－1|＋a，

由f(x)≥3恒成立，有|a－1|＋a≥3，解得a≥2，

所以a的取值范围是[2，＋∞).

点睛: 两数和差的绝对值的性质,特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质，应用此式来求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件. ，,，.