Question

已知 是双曲线 ( )的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（    ）

A. 3    B.     C. 2    D.

Answer

C

【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），

一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．

设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，

∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，

又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，

∴△MF1F2为直角三角形，

∴由勾股定理得4c2=c2+4b2

∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，

即c=2a，e=2．故答案为：C ．

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.