Question

已知椭圆C： 的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；

（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,

得， ．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积求最值即可.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| = ．

所以，其中，又，联立解得， ．

所以椭圆C的方程是．

（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．

当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．

联立l与椭圆C的方程，消去y，得．

于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．

设点， ．

由根与系数的关系得， ．所以，又O到l的距离．

所以△OMN的面积． ，那么，当且仅当t = 3时取等．

所以△OMN面积的最大值是．

点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．