Question

设函数.

   （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；

   （2）若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

(1) 的单调减区间为,单调增区间为;(2) .

【解析】试题分析：（1）由，解不等式得到单调区间；（2）根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得k的取值范围.

试题解析：

（1）由，知，且，……1分

因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，

所以，得，

所以，

令，得，在上单调递减；

令，得，在上单调递增，

综上，的单调减区间为,单调增区间为.

（2）因为，恒成立，

则有，对恒成立，

令，则在上单调递减，

所以在上恒成立，

所以恒成立，

令，则.

所以的取值范围是.

点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ（ｘ），则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．