对于命题
：存在一个常数
，使得不等式
对任意正数
，
恒成立.
（1）试给出这个常数的值；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；
（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题
：“存在一个常数，使得不等式
对任意正数，，
恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，
相关的命题．
设函数
.
（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的单调区间（其中
为自然对数的底数）；
（2）若对任意
恒成立，求
的取值范围.
已知椭圆C： 
的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足
，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点
的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
为了研究一种昆虫的产卵数
和温度
是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，
发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①
与模型；②
作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
产卵数 | 6 | 10 | 21 | 24 | 64 | 113 | 322 |
| 400 | 484 | 576 | 676 | 784 | 900 | 1024 |
| 1.79 | 2.30 | 3.04 | 3.18 | 4.16 | 4.73 | 5.77 |
|
|
|
|
26 | 692 | 80 | 3.57 |
|
|
|
|
1157.54 | 0.43 | 0.32 | 0.00012 |
其中
，
，
，
，
附：对于一组数据
，
，……
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为
时的产卵数.（
与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：
）
（2）若模型①、②的相关指数计算分别为
，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
已知
，设
：实数
满足
， 
：实数
满足
．
（1）若
，且
为真，求实数
的取值范围；
（2）若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
已知复数
(
)，且
为纯虚数.
（1）求复数
； （2）若
，求复数
的模.
