Question

如图，在多面体中，平面，，且为等边三角形，，与平面所成角的正弦值为．

（1）若是线段的中点，证明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）取的中点为，连接,可证平面,通过证明四边形为平行四边形可得结论；（2）取的中点，连结取的中点为，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，由与平面所成角的正弦值为求得，求出平面和平面的一个法向量，根据向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：取的中点为，连接，则可证平面，四边形为平行四边形，所以，所以平面；

（2）【解析】
取的中点，连结，则平面，即是与平面所成角，，设，则有，得，取的中点为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：平面，又，取平面的一个法向量，又，设平面的一个法向量，由，由此得平面的一个法向量，面积，所以二面角的平面角的余弦值为．

考点：空间中的垂直关系及空间向量在求解二面角中的应用.