Question

如图所示，抛物线的焦点为上的一点满足.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆相切于点，试判断直线是否过焦点.

Answer

（1）（2）经过

【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义可知：及，联立即可求得的值，求得抛物线的标准方程；（2）由题意设直线，代入抛物线方程，根据，求得斜率，求得点坐标，同理求得点坐标，求得直线的方程，即可求得直线是否过焦点.

试题解析：（1）抛物线的准线方程为

所以，又因为，所以，得，

所以抛物线的标准方程为

（2）设，联立，消去得：，

因为与圆相切，所以，即

所以，得

设，联立，消去得：，

因为与圆相切，所以，即，

所以，得

所以直线的斜率，

可得直线的方程为，显然经过焦点