Question

已知三棱锥P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E。（1）求证：AP平面BDE；（2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比。

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）1：2.

【解析】试题分析：

(1)由题意可证得由已知，结合线面垂直的判断定理可得AP平面BDE；

(2)结合(1)的结论由二面角的平面角为90°即可证得面面垂直；

(3)由空间几何体的特征可得截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比为1：2.

试题解析：

（1）证明：平面ABC， ，由AB=BC，D为AC的中点，得又又由已知

（2）（方法一）由由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP， 由已知： 又

（方法二）由（1）

为二面角E—BD—F的平面角

由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP由已知：

（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为则

故截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分体积的比为1：2。