Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程; 

（2）当时，求证:.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)由导函数研究函数的切线可得切线方程为.

(2)由题意构造新函数，结合新函数的特征函数的最值、单调性即可证得题中的不等式.

试题解析：

（1）依题意，,故,因为,故所求切线方程为.

（2）,令，故，可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为在时取得的极大值，并且也是最大值，即.又.设,则, 所以的单调递增区间为，单调递减区间为,所以,又，即.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．