Question

如图，正三棱柱中，为中点，为上的一点，.

（1）若平面，求证：.

（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求.

Answer

（1）证明过程见解析；（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意可得四点在同一个平面上，则易知.

(2)由题意转化顶点可求得棱锥的体积，.

试题解析：

（1）如图，取中点，连接.

棱柱为正三棱柱，

为正三角形，侧棱两两平行且都垂直于平面.

，

平面，， 平面，

平面， ，四点在同一个平面上.

平面，平面，平面平面，

， ， ，为中点，即.

（2）正三棱柱的底面积，则体积.

下面一个几何体为四棱锥，底面积，因为平面平面，过点作边上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面，故四棱锥的高，则，从而.