Question

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形与四边形的面积之和为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，（其中为坐标原点）,求直线被以线段为直径的圆截得的弦长.

Answer

（1）；（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意求得a,b的值可得椭圆的方程为.

(2)联立直线与椭圆的方程，结合题意和圆的弦长公式可得直线被以线段为直径的圆截得的弦长为.

试题解析：

（1）四边形的面积为：，

由椭圆的离心率为可得，结合可得，

，则，椭圆的方程为.

（2）由可得，

设点，则，

即,，

则，

由可得，即，

，即，

整理可得，即 ①

把①代入可得，该不等式恒成立.

以为直径的圆的圆心为，半径为.

圆心到直线的距离为，

则直线被圆截得的弦长为：.

点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．