Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间上有两个零点，求的取值范围.

Answer

（1）详解见解析；（2）

【解析】试题分析：

(1)首先求得函数的导函数，然后分类讨论求得函数的单调区间即可；

(2)结合(1)的结论，利用导函数与原函数的关系整理可得的取值范围是.

试题解析：

（1）的定义域为，，

令可得或.下面分三种情况.

当时，可得，由得，由得，

此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，由得或，由得，

此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，，在区间上单调递增.

由（1）得，当时，在处取得最小值，且在区间内先减后增，又，

，要使得在区间上有两个零点，

必须有且，由此可得.

当时，，显然在区间上不存在两个零点.

当时，由（1）得在区间内先减后增，

又，，

故此时在区间上不存在两个零点.

当时，由（1）得在区间内先增，先减，后增.

又,，

故此时在区间上不存在两个零点.

当时，由（1）得在区间上单调递增，

在区间上不存在两个零点.

综上，的取值范围是.