Question

设正项数列的前项和为，且，

(1)求，并猜想数列的通项公式

(2)用数学归纳法证明你的猜想．

Answer

(1) ;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（I）由，n分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想；

（II）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．

试题解析：

(1)当时，，∴或(舍,).

当时，，∴．

当时，，∴．

猜想：.

(2)证明：①当时，显然成立．

②假设时，成立，

则当时，,

即

∴.

由①、②可知，，.

点睛：数学归纳法两个步骤的关系：

第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础。只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立。