Question

已知， 是双曲线： 的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

Answer

C

【解析】由题意，矩形的对角线长相等，

代入双曲线方程，

可得 ，

∴，

∴4a2b2=(b2−3a2)c2，

∴4a2(c2−a2)=(c2−4a2)c2，

∴e4−8e2+4=0，

∵e>1,∴ ，

∴ .

本题选择C选项.

点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．